【数据党】无限十连抽到什么时候停止？——无限十连抽取结果的期望分析
精华修改于2020/05/284.5 万浏览攻略
#-- 最后更新于: 2020年4月8日 --#
#-- 以下更新于: 2020年4月5日 --#
昨天的停服一人一张无限十连，我来蹭个热度。
观前提示：本文较为适合已经有明确抽取目标的玩家，如果是入坑的第一个无限十连，可选阵容较多，本文用处相对较小。
本文预设的是没有使用#骚操作！论如何完美开局！#中提到的蹭保底的方法，即每次抽取只受概率影响。
（注，本方法在2020年5月28日的更新后已经失效，请勿参考）
假设十连抽取中的每一抽都是独立事件，按照官方提供的概率4.2%计算；假若抽到SSR英雄，则获得每一种英雄的概率一致，即1/20（换句话说，不存在“仓检”的情况）。
一、抽到SSR的个数
首先对抽取获得SSR的个数进行计算：显然在上述前提下，每一次10连获得SSR的个数符合二项分布B(10, 0.042)，对于获得的SSR的个数k(k = 0, 1, …, 10)，满足下式：
得到下表：
#表1：十连获得SSR个数的概率与期望
注：“累计概率”与“累计期望”是指获得大于等于对应个数SSR的概率/期望，例如获得4个及以上SSR的期望是1877.2。
从表中可以看到，理论上平均每150次即可抽到一次3SSR，1900次抽到一次4SSR，近4万次抽到一次5SSR，约一百万次抽到一次6SSR……
考虑时间成本（在我这里测试使用连点器约1s进行一次抽取），将目标设置为4SSR（1877次，32min）或5SSR（36270次，11hr）较为合理（事实上，还需要考虑抽到的SSR是否需要，这将在下一节考虑）
二、抽到的阵容
无限十连显然不能仅考虑SSR的个数，还应考虑抽到的SSR是否符合自己的需求。
首先考虑单恒晶且其他6个出战英雄均未炫彩加的情况：在抽到英雄为SSR的前提下，抽到的是阵容需要英雄的概率是6/20即0.3。则抽到k(k = 3, 4, 5)个SSR英雄且其中有j(j = 0, 1, …, k)个是阵容需要的概率为：
得到下表：
#表2：十连获得阵容需要（20取6）SSR个数的概率与期望
注：“累计概率”与“累计期望”是指在抽到指定SSR个数的前提下，获得大于等于对应个数阵容需要SSR的概率/期望。例如在抽到4个SSR的前提下，获得3个及以上阵容需要SSR的期望是23651.8。
从表中可以看到，在考虑抽到的SSR为阵容需要的情况下，抽取次数的期望大幅提高：理论上，平均抽取5625次，才能抽到3SSR且均为阵容需要；平均抽取23652次，才能抽到3个阵容需要SSR以及1个其他SSR；平均抽取24万次，才能抽到4SSR且均为阵容需要。
故如果不考虑抽取非阵容需要的SSR用来开图鉴的话，较为理想的情况应该是抽取3个SSR且均为阵容需要（5625次，94min），或抽取4个SSR其中有3个阵容需要（23652次，6.5hr），其中前者适合使用简单连点器的情况，后者适合使用能够判断SSR个数的脚本（在本文最后会简单介绍）的情况；
如果不愿花费时间/失去耐心/脸黑，也可以考虑4SSR其中2个阵容需要（5683次，95min）或3SSR其中2个阵容需要（703次，12min）
再附一张双恒晶且其他5个出战英雄均未炫彩加的情况：
#表3：十连获得阵容需要（20取5）SSR个数的概率与期望
三、一种简单的无限十连脚本
使用官方提供的简单连点器只支持在≥3SSR的情况下停止（游戏内部会弹出提示框），无法具体区分3SSR、4SSR与5SSR，这样会导致如果目标为抽取4SSR时，还需要手动判定抽到的是不是4SSR。事实上，这样的时间成本是巨大的，根据表1的计算，每13次3SSR中才会有1次4SSR。
可以使用安卓模拟器与按键精灵来解决这个问题（看到了我另一个帖子#关于使用脚本挂机刷金币的可行性测试及一种具体实现#评论区中的建议，试了下按键精灵…真香）：模拟点击——判断是否弹出提示框——判断提示框中数字——决定继续抽/停下来看看。
按照上述思路编写的脚本运行中无明显问题，只需考虑网络连接出错的情况（同样是一个弹窗），目前已稳定运行6.6万抽。
四、一次抽取实录
（本来是打算抽十万再发这篇帖子的，但是正好赶上停服补偿，就先发出来，之后再补）
使用前述脚本思路，从1553抽开始记录，目前已抽至66554抽，共6.5万条数据记录。
SSR出现次数记录：
3SSR：421次
4SSR：40次
5SSR：2次
具体情况：
表4：实际抽取时4SSR及以上的记录
表中数据仅为我抽取时的情况，可以用它模拟自己抽取时什么时候停手。
最后最重要的一点：本帖中所有计算得到的期望仅为理论值，随着抽取次数的增加平均抽取次数会逐渐趋向于稳定，实际操作中根据脸色会上下浮动。这一点从表4中也可以看出。
#-- 以下更新于: 2020年4月8日 --#
对本文表中所谓的“期望”做一个进一步说明：
表中期望的计算方法为(1/对应概率)。例如若某事件A发生概率为0.1，则（我这里定义的）期望为10，可以理解为，当进行了足够多的实验后，平均每10次将会发生一次A事件。可以使用伯努利大数定律很容易地证明这一点。
但是上述结论的前提是“足够多的实验”，如果只考虑有限次实验的情况（例如无限十连的抽取次数），仅仅使用我定义的“期望”就无法准确描述了。
这里我就又引入了一个公式，用来更加准确地描述抽取次数与总体概率的关系：
上式中，E为期望次数，p_kE为抽取kE次发生至少一次对应事件的概率，其中k为任意正数。另外，本式要求事件发生概率尽量小（一般来说，p≤0.1且k≥0.1可保证误差不超过5%）。
利用*式可以得到下面的表格：
#表5 抽取次数倍率与事件发生至少一次概率的关系
举个简单的例子，从表1可知：抽取得到至少4个SSR的期望抽取次数为1877.2，再利用表5中倒数第二行的数据，可以得到结论：当抽取次数达到1877.2*2.9957=5642次时，有95%的概率至少1次抽到至少4个SSR。
其实这一部分分析对于决定无限十连抽到什么程度停手没什么影响（脸再黑，只要手勤快就一定能拿到自己想要的。比如我肝了8万多发混了4个自己用得上的SSR）。不过这一段可以用到我之后的攻略中：
PS：如果你对本攻略有任何疑问、意见或建议，欢迎在评论区告诉我~
PPS：码字不易，如果本篇攻略对你有帮助的话，留个赞呗！