EH的数独杂谈#4 连续环
修改于2022/09/05446 浏览攻略
前情提要：
19世纪中叶，随着工业的飞速发展，有机化学的研究也在蓬勃发展。苯是一种重要的化工原料，但当时的科学家并没能认识苯的结构。凯库勒也不例外。一天，他由于过度疲劳在马车上睡着了，在睡梦中，他竟然看到了碳原子和氢原子在空中翻飞，继而变成了一条白蛇，最后这条蛇的口咬住了尾巴，形成了环状...
那么我们今天要讨论的数独技巧中的环，和苯环没有任何关系。
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友情提示：
在阅读下面的内容之前，请确保自己已经充分理解了标准链的概念。
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目录：
一、连续环的性质
二、连续环的应用
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我们之前讨论过标准链里最纯粹的一派了。从推导的角度来讲，我们从链头推导到链尾，利用二者进行删数。但有一种相当特殊的情况，使得你的推导过程回到了最初的起点：
r9c8(8=2)-r4c8(2=1)-r4c5(1)=r6c4(1)-r9c4(1=8)-r9c8(8)
我们注意到，本该成为链头的r9c8(8)又被弱链指了回来，就像一条蛇咬到了自己的尾巴一样。这样，这条链变成了真正强弱交替的环状，我们称它为连续环。
你们或许已经注意到了，我在图上标明了许许多多的删数，它似乎比单独一条链能产生的删数多多了。但其实它们都是有依据的，这就成为了连续环大受数独玩家青睐的原因之一。现在来讨论连续环的性质。
一、连续环的性质
让我们对这个环进行解构。先暂时盖住其中一条弱链不看，比如r9c4(8)-r9c8(8)：
然后它就变成了一条标准的AIC：
r9c8(8=2)-r4c8(2=1)-r4c5(1)=r6c4(1)-r9c4(1=8)
即 r9c8(8)=r9c4(8)
现在理解r9c17两格不能为8的原因了吧？这两个原本构成弱链的节点，把弱链盖住之后，又通过AIC构成了强链。也就是说，这两个节点同时构成强链与弱链，正好符合我们对于“共轭对”的定义（希望你还记得哦~）
另一方面，如果我们盖住的是一条强链，比如r4c5(1)=r6c4(1)：
剩下的同样是交替推导链，只不过是以弱链开始到弱链结束的：
r6c4(1)-r9c4(1=8)-r9c8(8=2)-r4c8(2=1)-r4c5(1)
即 r6c4(1)-r4c5(1)
这两个节点本是强链，但通过交替推导链发现它也构成弱链，因此这两个节点同样也是共轭对关系。
综上得到连续环第一性质：连续环内任何两个相邻的节点构成共轭对关系。
现在让我们用另一种视角来看连续环。我们从橙色圈节点的真假两种情况来出发，探讨连续环的填数情况。
如果橙色圈为真，可以推导出所有的紫色圈为真：
反之，如果橙色圈为假，则这些紫色圈又变成真：
可以注意到，这个连续环的8个节点，无论是哪种情况，都有且仅有4个节点成立，每两个相邻真节点之间都恰好隔着一个节点。更加奇妙的是，这两种填数情况是非此即彼，并且完全互补的。
据此得到连续环第二性质：连续环有且仅有两种互补且互斥的填数情况。
另外，你可以尝试只关注单条链连接的两个节点，你会发现它们在两张图里，要么这个成立，要么那个成立。总之有且仅有一个成立，又印证了它们构成共轭对的观点。
此时可能有读者想要询问：连续环正好有8个节点，是偶数，所以才能均分成4个一组的两份。如果节点总数是奇数呢？
现在可以先肯定地给出结论，同时也是连续环第三性质：连续环节点个数一定是偶数。
接下来，我们将会给出关于这一性质的证明。这个过程更像是思想实验，读者可以选择性略过。
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尝试想象一个由奇数个节点（比如2n+1）构成的连续环。显然这个环也是由(2n+1)条链构成的。由于连续环的第一性质，这些链都是共轭对关系。
接下来，定义节点为真时等于1，节点为假时等于-1，那么由于共轭对两个节点有且仅有一个为真，它们的乘积必然等于-1。
现在设这个由(2n+1)个节点构成的连续环某节点为x（x可以是1或-1，也就是真或假的一种），作为第一个节点，那么沿着一个方向走下去，第二个节点就是x乘以-1，第三个节点就是x乘以-1的2次方...直到第2n+1个节点，等于x乘以-1的2n次方。由于-1的偶数次方等于1，所以第2n+1个节点也是x。
在连续环里，第2n+1个节点与第1个节点也是共轭对相连的，但它们都是x，也就违背了共轭对的性质。因此前提是错误的，即连续环的节点个数不可能是奇数。
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这个证明过程也从侧面反映了，由奇数个共轭对构成的环状结构是不存在的。数独中确实存在专门利用这一结论产生删数的技巧，我们会在下一篇详细介绍。
二、连续环的应用
介绍了那么多性质，我们该怎么使用这个技巧呢？实际上，在这些性质里，性质1是最实用的一个。
如果你碰巧找到了一个连续环，因为每条链都相当于共轭对，所以你可以把弱链当做强链来使用，强链当做弱链来使用。
先说弱链变强链。我们回到刚才的例子：
由弱链r9c8(2)-r4c8(2)可以当做强链来用，可以找到删数r8c8≠2。
由弱链r4c8(1)-r4c5(1)可以当做强链来用，可以找到删数r4c2≠1。
由弱链r9c4(8)-r9c8(8)可以当做强链来用，可以找到删数r9c17≠8。
你看，虽然前面说了那么多有用或无用的废话，但在实际使用时，利用弱链变强链，那么每条弱链所在直线都有机会产生删数。是不是没那么难？
再说强链变弱链。虽然单独的弱链往往产生不了什么删数，这种变换似乎没什么意义；但是，在涉及到ALS等复杂技巧的时候，强链变弱链就会起到关键作用。我们会在后续介绍到ALS时，再次讨论连续环的这一性质。
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小结：
1. 连续环具有三条性质：
（1）连续环内任何两个相邻的节点构成共轭对关系。
（2）连续环有且仅有两种互补且互斥的填数情况。
（3）连续环节点个数一定是偶数。
2. 在使用连续环时，最关键的是使用性质1将弱链变强链，从而找到大量的删数。
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思考：
1. 你或许也在其他读物里看到过“不连续环”的概念。不连续环和连续环有什么区别呢？
2. 你曾经学过的简单技巧，有哪些可以用连续环的视角来理解呢？