点灯解密，数学通解
03/21218 浏览攻略
之前的文章是工具解和技巧解，本篇用数学方法通杀所有点灯问题。
注：由于字数限制，仅以简单三灯为例，理论为主，实战放到下篇。
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一、原理
1. 最简操作每个灯最多操作一下，因为两下会还原。
2. 点灯结果与点灯顺序无关。
3. 灯由灭变亮，或由亮变灭，均称为反相。
4. 操作一盏灯会使同行同列的反相。
5. 反相次数为奇数时，灯亮；反之，灯灭。
6. 当每盏灯反相次数都为奇数时，全部灯亮。
7. 从左到右，从上到下的顺序给每盏灯标号。即1行1列为灯1，1行2列为灯2，2行1列为灯3。
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二、方程组
设灯1操作次数为x₁，依次类推。
灯1的反相受同行同列灯的影响，即灯1反相次数=灯1操作次数+灯2操作次数+灯3操作次数。要让灯1亮，则这个等式应为奇数，即：
x₁+x₂+x₃ = 奇
同理，灯2只受灯1和灯2的影响，有方程：
x₁+x₂ = 奇
同理，灯3反相方程：
x₁ +x₃ = 奇
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三、矩阵
方程组写法太复杂，所有方程都有相同的地方，将相同的地方隐去，得到矩阵：
[111奇
110奇
101奇]
为了好看，最后一列用1表示奇，0表示偶：
[1111
1101
1011]
注意：以上并非矩阵的标准写法，只是为了简便。
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四、计算方法理解
1. 理解 x₁+x₁=2x₁=0：x₁表示灯1操作次数，所以2x₁表示2倍的灯1操作次数，这个次数偶数，相当于没有操作，也就相当于操作次数为0。
2. 理解最后一列1+1=2=0：这个1表示奇数，2倍的奇数就是偶数，用0表示。
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五、简化矩阵
1. 让矩阵1行1列为1，1列其它行都为0。
先让2行1列为0：第2行+第1行=1101+1111=0010，
可以直接在矩阵上计算，即第2行变为 0010，矩阵变为：
[1111
0010
1011]
同理，再让3行1列为0：
第3行+第1行=1011+1111=0100
[1111
0010
0100]
2. 让矩阵2行2列为1，其它2列都为0。
交换2行和3行：
[1111
0100
0010]
第1行+第2行=1111+0100=1011，矩阵为
[1011
0100
0010]
3. 让矩阵3行3列为1，其它3列都为0。
第1行+第3行=1011+0010=1001，矩阵：
[1001
0100
0010]
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六、分析矩阵
1. 第3行，0010表示灯3次数为偶数，即灯3不操作。
2. 第2行，0100表示灯2次数为偶数，即灯2不操作。
3. 第1行，1001表示灯1次数为奇数，即灯1操作。
即，只需要看最后一列为1的有哪些行就操作哪些灯。
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需要注意，有时会出现一行和一列全0的情况，表示这个灯可操作，可不操作，直接假定不操作即可；如第3列全0，则假定0010替换全0的行。
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总结：其实很简单，只是为了把原理讲清楚，所以写了这么多。实际操作时，只需要把矩阵列出来，化简，看哪些行最后为1即可。
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你学会（废）了吗？
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