新忍者/武器池概率详解——平民收藏党必看！
修改于05/024993 浏览玩家攻略
摘要
现今忍三，版本更替速度日新月异，如何合理地使用结神符与金钥匙提升配置已成为当下热点话题。本文使用Python编程，通过初等概率论知识与递归算法，解决了面对新忍者/武器池时，在已知“当前未出金次数”和“当前祈愿值”的前提下，投入特定数量资源至少能出一个up角色/武器的概率的问题。本文的研究结果，对所有忍三玩家，尤其是平民收藏党，具有一定的参考价值，并为如何合理使用资源提供了新颖的视角。
研究背景与文献综述
2023年7月-2024年4月，忍界风起云涌。卫鲤横空出世把洛青拉下王座，将平推系数拔高到50+的新纪元；双刀凭借优秀的机制和不俗的系数，正式开启专武时代。在随后的一年时间里，小白先后推出老板娘，兮兰，紫原等数值怪物；风月含袖，紫电白虹，伏溟九渊等强力武器的现世更是让大众玩家高呼“🐶白要圈钱跑路”。众所周知，忍3当前的主要矛盾之一是“高速更替的版本与忍忍缓慢的养成速度之间的矛盾”，虽然小白在2024年初实施了一些治理措施，例如增加每日龙血宝物的获取速度，开启工坊商店，上提老忍者强度等等，该矛盾始终未能得到根本解决。
忍者命格，武器（技能）等级，宝物勾数是衡量一名玩家配置的主要指标，其中前两个指标提升的主要途径是忍者池抽卡与武器池抽卡。然而在当前的游戏环境下，很多玩家吐槽“出新忍者和武器的速度太快，结神符和钥匙根本不够用”，更有不少忍忍在连歪数金之后于贴吧论坛对🐶白破口大骂，甚至“退游明志”。故如何合理地使用抽卡资源是每个忍忍（尤其是平民）都万分关心的话题。
每当小白推出新武器/忍者时，总有各个领域的大佬运用经验与专业技术给忍忍们指出明路。例如，北夕与载王总能在第一时间给出武器/忍者机制、系数的详细测评；处于33金字塔顶端的男人——叮咣能够站在一名33玩家的角度，结合玩家氪金度给出是否应该抽新忍者/武器的中肯建议。他们的付出给予了忍忍们极大的帮助。然而，这些大佬的观点缺少了对抽卡概率的分析。
另一方面，前不久，Tap有研究人员利用数理统计知识解析了“新忍者/武器池”与“忍者/武器返厂池”，让广大忍忍对出金概率有了更理性的认识。然而，该研究美中不足的是，“平均值”并不能完美地刻画一组数据的分布，使得其结论的参考意义有所打折。但不可否认，该研究开创了“利用数理统计知识解析忍3卡池”之先河，并为笔者提供了灵感。
研究选题
本文的任务是计算面对新忍者/武器池时，在已知“当前未出金次数”和“当前祈愿值”的前提下，投入特定数量资源至少能出一个up角色/武器的概率，用数学的语言来说，我们需要计算至少抽出一个卡池up武器/角色的概率P，而它是“当前未出金次数”m，“当前祈愿值”n和“玩家预计投入资源数量”k的函数，即计算P（m，n，k）
研究技术
本文不计划采用matlab等软件进行抽卡模拟，而是利用初等概率论知识与递归算法算出P（m，n，k）的精确值。主要利用的递推公式如下：
P（m，n，k）=1-p_1*[1-P（0，n+1，k-1）]-p_2*[1-P（m+1，n+1，k-1）]
其中，p_1表示当前状态下第一抽出金但是歪了的概率，p_2表示当前状态下第一抽没有出金的概率，严格来说，它们都是m，n，k的函数。
研究假设
计算规则基于小白严格遵守如下的公开的抽卡规则（对于新武器/角色池）：
1、当前未出金次数不超过49次时，下一抽出金的概率是2%；反之，每超过1次，下一抽出金概率提高5%，上限100%。
2、出金时，若先前祈愿值已达到120，则当前金必为up角色/武器，反之，则有30%概率获得当期up角色/武器。
3、出金后，当前“未出金次数”清零。
4、每一抽后，若未出当期up角色/武器，祈愿值加1。
研究结果
笔者将计算结果整理为190个（因为无论初始状态如何，190抽必定抽出当期up）xlsx文件，用玩家预计投入池子的资源数量，作为每个文件标题，每个xlsx表格中每一格的行索引和列索引，分别代表了初始状态下的“当前未出金次数”和“当前祈愿值”。
文件一览
抽86次的概率
先前已有研究人员证明，出新池子时，平均要85.7抽才能出一个当期up角色/武器。然而上图表明，如果新池子刚出来时，当前未出金次数是0（当前祈愿值自然是0），即便将86抽全部all in，出up的概率也仅仅只有52.15%——相当于会有将近一半的忍忍空手而归。另一方面，即便有忍忍未雨绸缪，在新池子出来前就将当前未出金次数垫到了69次（这是夸张的说法，实际上60次已经很不容易了），此时面对新池子all in 86抽，出up的概率也仅仅只有66.20%！！！也就是说，还会有三分之一左右的忍忍一无所获！！！
这意味着，在分析抽卡池时，“平均值”的参考意义是很有限的。
由于贴吧所能展示的内容有限，无法将本文的全部研究数据呈现给各位读者，故以下将展示一些重点结果，如需要全部数据的忍忍可在评论区留言，笔者有空会回复。
首先，我们考虑这样一个问题：忍3出了新忍者/武器，忍忍好想要~~假设当前祈愿值为0，则在已知当前未出金次数的情况下，我需要投入多少抽才能将“至少出一个当期up角色/武器”的概率拔高到50%，55%，……甚至95%以上？
结果如下图（行索引表示“当前未出金次数”）：
P1
P2
换个角度，我们还可以思考如下问题：忍3出了新忍者/武器，忍忍好想要~~假设当前祈愿值为0，则在已知当前未出金次数的情况下，将手头为数不多的资源全部投入，至少抽出一个up的概率是多少？竹篮打水一场空的风险有多高？
结果以百分号形式呈现并保留两位小数，如下图（列索引是“当前未出金次数”）：
P3
P4
P5
P6
P7
几个重要结论：
1、垫池子的抽数并不是越多越好，有时会产生负面影响（但这种影响不大就是了）。仔细观察可以发现，P1&P2中，并不是每一列都越往下抽数越少；P3-P7中，并不是每一行都越往右概率越高。其本质原因在于P（m，n，k）并不是关于n的不减函数。或者举个例子，假如你准备在新池子开启后砸下去140抽，那么在那之前，你的未出金次数等于39时，可使得这140抽发挥最大功效，出至少一个up的概率为88.61%；相反，若未出金次数等于50，这个概率只有87.94%！
2、垫池子即便起到了正面作用，该积极影响也十分有限。例如，对比当前未出金次数是0和50，倘若你准备在新忍者/武器池投入60抽（小保底出金的量），至少出一个up的概率无非也就是40.26%比上53.74%的差距，食之无味，弃之可惜。
3、在统计学中，通常称发生概率不超过5%的事件为小概率事件，这意味着当新忍者/武器池开放时，156抽没有出up的概率并没有低到可以忽略的地步，更没有充分的理由断言小白偷摸降低了爆率。通俗地说，大约20个忍忍里面就有这样1个倒霉蛋。而如果想要将竹篮打水一场空的风险降低至5%以下，倘若没有攒180金钥匙/结神符的能力，也请至少准备好163抽。
4、倘若你打算在新池子开启后以95%，90%，85%，80%，75%，70%的概率至少抽出一个up角色/武器，请分别准备好至少163抽，152抽，143抽，136抽，130抽，124抽。
研究意义与创新点
1、初步解决了“至少准备多少抽才能将至少出指定个up角色/武器的概率提高到某个标准”的问题，让玩家对出金概率有了更加客观理性的认识，并建议大家保持良好的心态进行游戏。
2、从初等概率论角度严格证明了“垫池子意义不大”的结论。
3、丰富了忍3已有攻略，将数学与游戏抽卡恰到好处地结合，为圈内学者提供新的思路。
4、本文的研究数据对资源不多的平民，尤其是那种偏向收藏风格的玩家有极大的参考价值，P1-P2的数据可用作于对即将到来的周年庆未雨绸缪，P3-P7的数据可以评估当下出手“伏溟九渊池”“兮兰池”的风险大小。此外，每抽1次奖，都将改变当前的初始状态（改变了“当前未出金次数”，“当前祈愿值”），本文的数据可以实时对当下面临的风险进行评估，以此选择未来的走向（继续投入手头已有的抽卡资源，氪金亦或是停手）。
研究展望
“至少准备多少抽才能将至少出指定个up角色/武器的概率提高到某个标准”的问题仍未得到根本的解决，对于想要在新角色/武器刚出的时候就将角色拉到4命甚至6命、将武器培养到97级甚至双100级的中氪及以上玩家，本文的研究结论略显苍白。此外，忍3的武器幻化返厂池，人物复刻池都有着不同的抽卡规则，而本文未对这两个池子进行探索，希望能在以后的研究工作中加以完善。
参考文献
忍3召唤池完全解析 - TapTap