为什么n张的牌组总有至少一个比n+1张的牌组强

2022/11/28639 浏览游戏攻略

没想到这个问题结论这么简单.... 这是因为（在一定规则下）n+1 张牌的牌组的表现完全就是所有去掉1张得到的n+1个n张牌组的算数平均值

F(1,2,3,...,n+1） = （F(缺1)+F(缺2)+..+F(缺n)）/（n+1）

F(缺1)是n+1张牌去掉1号牌的牌组胜率

那么这n+1个新牌组总有一个>=原牌组

我猜对排列组合很熟悉的话也许能几句话讲清楚，我水平不够，下面的证明很麻烦也没咋用排列组合核心思想是把牌组拆成牌序，那么原牌组的所有牌序能完美拆分成所有新牌组的所有牌序的算数平均

下面的模型对于实际情况有什么限制呢？

1）假定不同的卡组，完全相同的抽牌的胜率一样。这样一来很多情况不符合：

多带10卡则生命上限+10。不能抽超过n-1张不能玩到一半干扰牌库包括检索

2）所有人都是完美打牌机器，已经算好了所有可能

假设机器和人打，人的操作水平不同也永远不如完美机器，就没法轻易描述胜率。

所有卡牌效果明确，没有概率未知的牌要是出张牌，有alpha 概率执行a，beta概率执行b，然后每天换个公式，那就不行了

那么平均而言，闭上眼睛去掉一张牌不会把牌组变弱。（当然因为（1），实际玩起来肯定不是这样）但是人总不会蠢到把好的配合拆掉，这个意义上，任何水平的玩家缩减牌库，一般总能提高胜算。

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下面的东西建议只看粗体，别的我没写清楚也很难写清楚

数学模型：n+1张牌的牌组，在只抽至多n-1张牌就结束游戏的情况下，有P(n+1,n-1)个牌序。对于一个牌组或不同牌组游戏结束前相同的牌序，胜率固定。试图论证把这n+1张牌去掉1张得到的n个牌组中的算数平均胜率就是原牌组的胜率。因为最大值>=平均值，这n个牌组至少有一个胜率更高（或一样高）

用p(a1,a2,...,ai)代表以a1,a2,...,ai这种情况抽完牌的胜率，F(n) 代表牌组放了1,2,3...,n 号卡牌的牌组的胜率,fn(a1,a2,...,ai)代表以牌组F(n)游戏时，这种情况的出现率。

为了简便把p(1,3,2)写成p(132)。

假设游戏在最迟抽到n-1张牌时必然结束。那么仅仅考虑P(n+1,n-1)个牌序。

最简单的情况：牌组里原有1，2两张牌：那么抽1张就结束了

原牌组胜率F(1,2) =P(1)f(1)+P(2)f(2)=1/2(P(1)+P(2)).

注意f(1)=f(2) =1/2, 因为先抽1和先抽2概率一样。

新卡组胜率 F(1) = P(1)， F(2) = P(2).

那么max(P(1),P(2))>=P(1)/2+P(2)/2

注意这里两个新卡组的平均表现P(1)/2+P(2)/2

>=1/2(P(1)+P(2)).

也就是说原牌组和2个新卡组的平均表现完全一样好

我们很高兴，因为下面的归纳法要成立，几乎只有算术平均这一最简单的办法

过程很长而且我写的跟乱码一样。

做题感想：好不容易写完了，但是这玩意其实就一句话，对于每个n张新卡组的每个系数，p(a1,a2,...,ak)如 p(1,2), p(2,1),p(1,3,4...,...n+1)，是原本n+1张卡组该系数的

((n+1)/n)(n/n-1)(n-1/n-2)...(n-i/n-j) =(n+1/n-j)倍，j=n-k+1

然后有n-j项有这个系数，同时要除以(n+1）得到这n个牌组该系数的平均值

也许有简单的多的语言描述

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牌组原有1，2，3。新卡组是1，2； 2，3；和1，3。

12 13 21 23 32 31 概率都是1/6

注意对于此卡组f(12)=f(13), f(12)=f(13) =1/6 -1/2 f(1)，

f(12)+f(13)+f(1) = 1/3 (应该写成f123(12),真麻烦 123是下标）

此卡组胜率F(1,2,3)=【p(1)f(1)+（1/3-1/2f(1)(p(12)+p(13))】+... +...

新卡组F(1,2) F(1,3) 和 F(2,3):

F(1,2): f(1)和f(2)都是原来的1.5倍，而f(12)是原来的3倍

F(1,2) = 1.5p(1)f(1)+（1/2-1.5f(1)）p(12) + 1.5p(2)f(2)+（1/2-1.5p(2))p(21)

为什么F(1,2,3) =1/3(F(1,2）+F(1,3)+F(2,3))? 不用全部相加，观察项：

对于p(1)： F(1,2），F(1,3)都贡献了 1.5倍的p(1)f(1). 那么 1.5*2/3 =1.

对于p(12): 原本系数是 1/6 -1/2 f(1)

只有F(1,2)有（1/2-1.5f(1)),也就是3倍 3/3=1

1级的p(i) 是 3/2 * 2/3 = 1

2级的p(i，j)是(1*3)/3 =1.

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下面就更加别看了

试想1,2,3,4的p(1,2)系数： 123和124 都有12

对于123：

因为4没了，第一个是1概率提高到 4/3倍，1接2概率提高到3/2倍

4/3*（3/2） = 4/2 那么2*(4/2)/4 = 1

数学归纳法的递归：

从n到n+1: 把F(1,2,....,n+1)

的系数分为 n个级别：

1) p(1) p(2),....p(n)

系数公式 (n+1/n)*(n)/(n+1) =1

具有p(i)的F(缺?) 有n个，每个系数提高为(n+1/n）倍，再除以n+1就是1

2) p(12)p(13),.. p(21), p(2,n),....,...p(n,1),...., p(n,n-1))

系数公式具有p(i,j)的F(缺?) 有n-1个，同时系数提高为(n+1/n-1）倍，再除以n就是1

p(123),p(124),p(12n),p(213),.....,p(n,n-1,n-2)(n-2) *((n+1)/(n-2)) /(n+1)

p(1,2,3): 只有缺1，2，3的F没有p(1,2,3）项。也就是n-2个项有

对于缺4: 因为4没了，所以1，1->2,2->3概率为之前的

（n+1 /n),(n/n-1), (n-1/n-2）乘起来是 n+1 / n-2 那么n-2 * （n+1 / n-2） / （n+1) =1

n) p(1,2,...,n)

p(1,3,....,n+1),....,p(2,3,....,n+1)

然后每个级别的每个小项都是去掉一张牌剩下n个卡组的相应项的算数平均

也即F(1,2,3,...,n+1） = （F(缺1)+F(缺2)+..+F(缺n)）/（n+1）

五行师

8.5

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