数织，从入门到精通（二）

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和第一章一样，我们本章先提出一条简单的定理。该定理是定理（1.1.1）的延伸，但是却是负格推演中最基础的公式。

若一排中存在一个场地格不是任何数字的位，则该场地格为负格。(2.1.1)

这个定理决定了负格的分布，也是除反证法及其得出的定理外唯一确定负格的方式。然而，其在实际运用中用处不大。本章我们将侧重于用反证法证明几个定理，同时引入两种新的解题方法。这些对于数织进阶有所帮助。当然，笔者依然希望读者在做题过程中能有自己的理解。

图2.2.1

如图2.2.1所示，可以看出，图中第4-9行的第1个数字都为2，假如第1行格为正格的话，由定理（1.3.2），第2行格也一定为正格，这样就会与第3行格的正格连接上，导致其不符合数字2。因此第一格一定为负格。

这里我们从两个方面对该例推广，可以得出两个定理。若我们考虑正格间的连接，通过计算格数，就能得到以下定理。

若一排第一个数字为n，n≧m，则第m行格到第（m+n）行格不可能都为正格。（2.2.1）

特殊的，当m=1时，第1行格与第（n+1）行格不可能同时为正格。这个定理只在m=1时有较大的运用，这里不过多陈述。

若我们从定理（1.3.2）与该例的假设延伸，则可以得到以下定理。

若一排第一个数字为n，且第（n+1）行格到第（n+m）行格均为正格，n≧m，则第m行格为负格。（2.2.2）

可以看出，当m=1时，这个定理是定理（2.1.2）在m=1的情况的宽松版。

注：定理（2.2.1）与（2.2.2）在n=1时价值不高，不证自明。

图2.2.2

如图2.2.2所示，图中第9行第8列为负格。由于第9行为负格，第8列最下面就只剩下了1个场地格，这比数字5的数字格小，因此，第7列的唯一数字5的位一定不在第10行，又由定理（2.1.1），所以第10行第8列为负格。

这种情况在解题中十分常见，经过简单的类似的推演，我们可以得出以下定理。

第一章我们提到，正格能够减少分布可能，上一章我们从有且仅有一个数字的情况讨论了这个问题，但实际中，很难出现有且仅有一个数字的情况，因此，我们有必要讨论正格在一个以上数时的影响。

图2.3.1

如图2.3.1所示，我们不通过严谨的逻辑推理就能看出第7列的数字3的位为第7到10列，为什么？我们可以说这是因为它不能与数字1挤在一起，但我们需要的是一个普遍的定理。每一个数字都有他对应的位，但位无法与位交互，他们会互相重叠，穿过。而当我们考虑一个数字的正格时，这个正格就能与位交互了。一个数字的正格是这个数的正格，无论如何其都不可能与其他数字的位连接。由此，我们可以得到以下定理。

一排一个数字的正格两边的格一定不是其他数字的位。（2.3.1）

注意：这个定理看上去很简单，但有一个极其抽象的应用。当能确定的正格格数恰好为0格时，该定理依然成立。也就是说，即使你无法确认任何正格，该定理依然像“幽灵”一样限制着其他数字的位。我们这里要对0格正格下一个定义，还记得上一章的边缘法吗？他会使各个图像都减去数个正格，因此，我们定义使用边缘法时对应数字与最后剩下的场地格数相同的图形从减少方向由最后一格与下一格之间的空隙叫做0格正格，其等效于正格，但是很难使用。

图2.3.2

如图2.3.2所示，第6列剩余的两个数字1并不能边缘法确定，但是，第一个数字1通过边缘法得出的0格正格位于第2行与第3行的交界处，其两边的格就一定不是第二个数字1的位，对第二个数字1也是同理。由此，我们可以得出其的分布只有三种，用列数表示数字1的分布分别为（2，4），（2，5），（3，5）。

我们前面的所有描述都有着一定的限制，如第一个数字，或是有且仅有一个数字，这些限制减少了他们对解题的帮助。我们在上一章引入了整体法，但这并没有解决太多问题，我们将在本节试着解决这些限制。

图2.4.1

如图2.4.1所示，在这种情况下，定理（2.2.3）无法确定第7行第9列的负格，但是经过很简单的推演，我们就可以很容易确定其为负格。这种情况和图2.2.2极其相似，就连推演步骤都一样。我们不能对于每一种情况都创造一个新的定理。不然对于无限大的区块我们就要提出无限个定理，这显然是荒缪的。

我们可以换一个思路，既然我们已经确定了一个部分，因为本系列所有的定理都与一排的绝对数字排布无关，只与相对的数字排列方式有关，我们可以将剩下的部分看做一个新部

分，并且等效成一个新排。

总结一下就是：当一排的一个数字的数字格完全确定时，在其后加上一个负格即可将其后面的部分看做一个新排。在新的一排中所有的定理依然生效。即这个新排等价于正常的排。

这样，前文提到的很多定理的使用范围就扩宽了。

至此，我们已经介绍了许多定理与方法，也拓宽了很多定理的使用范围，他们能有效的解决大部分问题。但是，对于一些困难关卡，这些定理与方法依然无法推出甚至一个正格或负格。于是我们只好引入一种最强大也是最复杂的方法：矛盾法。

矛盾法的本质就是反证法与穷举法的结合，其基本思想十分简单，他的步骤可以总结如下：假定一个分布正确，根据定理继续推进，直到发现矛盾，更换分布重来。或是直接完成图形。特殊的，当一个分布占且仅占一个场地格时，如果其不正确，则该格一定是该分布的反面。矛盾法能解决一切数织问题，但一般来说，其的步骤十分十分繁琐且缺乏效率，所以一般不到万不得已不会使用它。

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思考题：为什么0格正格的应用是合理的？