伽罗瓦

藏宝图趣闻第三期：随机碎片换高品质碎片血亏？（2024.2.10）

修改于02/143033 浏览玩家攻略

各位忍忍们大年初一快乐鸭！！！ [表情_开心]

距离上次更新本系列已经过了四天，不更新的原因真不是因为我懒 [表情_泪目]

，咳咳，而是苦于没有啥有意思的素材 [表情_豹哭]

；但没想到，我年初一一觉醒来，翻看我帖子的评论区，看到了引人深思的一条评论：

翻译一下，就是该位忍忍认为用随机碎片换绝品碎片性价比大于将随机碎片全部合成藏宝图，理由是如果要换取套装宝物，合成一个绝品后只需要刷一张藏宝图的属性，但是四张凡品却要刷四次，性价比太低。

实话实说，我的确没有考虑过该位忍忍提出的细节，正当我以为自己曾经的结论将会被打脸时 [表情_捂脸哭]

，我抓住了该位忍忍发言中的几个可疑点：“全是不要的凡品”“刷属性” [表情_暗中观察]

我立马发现了破题的关键点！！！ [表情_微笑]

先跟大家说说我之前为什么会觉得“用随机碎片在商店换高品质碎片很亏”：

理由很简单，因为凡品、珍品、绝品、神品掉落奖励是1:2:4:8，但是在使用随机碎片兑换时的比例却是1:2:4:10，如此看来，兑换神品碎片显然是荒谬的行为，兑换凡品，珍品和绝品表面上看起来是等价替换，但考虑到随机有可能合出高品质，实际上还是亏。

有忍忍提出过疑问，如果考虑幸运奖励呢？结果在期望的范围内是不影响的，考虑方差则另有说法，原因留给在座的各位去思考。 [表情_酷]

后来在接收到图中忍忍的想法后，我先是一愣，随后便发现其中“暗藏玄坤”：凭什么认为全是凡品？凭什么不能将给绝品刷属性的花费用在某个凡品上？

我马上运用初等概率论的知识对上述议题进行了研究，不感兴趣的忍忍可以直接看第四节的结论：

一、不考虑随机合成高品质藏宝图

全用随机碎片兑换绝品需要40片，如果将这些随机碎片都用来合成，将至少会得到4张凡品，本节暂且认为都是凡品。

我们假设四种属性都是均匀分布的（之后保持该假设）：若不特意刷属性，一个绝品可以获得的目标属性残卷数量的平均值是4+12÷2+20=30；若特意刷属性，我们设将一个未知属性藏宝图刷成目标属性的平均花费为x勾玉，则在花费x后，一个绝品可以获得的目标属性残卷数量是16+20=36

对于四张凡品，我由浅入深的思考如下：

1、若不特意刷属性，四个凡品可以获得的目标属性残卷数量的平均值也是30

2、若刷属性，既然该位忍忍说四个凡品全刷浪费资源，那么我就随机抽取四个凡品中的一个刷属性，花费还是x勾玉，剩下三张凡品的属性依旧假定均匀分布，则此时四张凡品可以获得的目标属性残卷是4+3+9÷2+20=31.5

3、考虑到实际情况中，我们显然会专门挑选不是目标属性的藏宝图进行刷新，那么我们假设4张凡品中有2张（其实严格按照概率论的结果，这个值比2小1/256≈0.0039）是目标属性，还有两张不是，则这四张凡品可以获得的目标属性残卷是9+9+7+7=32（但是请注意！我们此时的花费严格上并不是x，但差距可以忽略!）

结果表明，每消耗40随机碎片与x勾玉，用该忍忍提出的方案，较全都合成随机品质藏宝图至多多出了4~6目标属性残卷，这意味着什么呢？为期28天的活动，一般忍忍拉满能够获得的随机碎片数量不多于600片，我们就假设这600片全都用来换取绝品碎片，无非也就多出了60~90片目标属性残卷；考虑到实际情况，一般忍忍用来换绝品碎片消耗的随机碎片数量不会超过224片（就当一天换俩），这样一来，无非也就多出了22.4~33.6片 [表情_期待]

这是什么概念呢？这么说吧，只要有一次我们用随机碎片合出来一个绝品，相对于属性残卷，就可以至少弥补28-7=21的差距，对于神品，这个数值更是达到了可怕的48，即便是珍品，也只需要来个4次即可弥补28

接下来我们就将另外一个重要因素考虑进来。

二、考虑随机合成高品质藏宝图

现在，我们考虑4张随机品质藏宝图中有一张是珍品，其余三张还是凡品的情形。

仍旧展示我由浅入深的思考：

1、若不特意刷属性，4张藏宝图可获得的目标属性残卷数量的平均值是15+7.5*3=37.5

2、若只刷一张藏宝图的属性，我们选择珍品藏宝图去刷，花费x勾玉之后，4张藏宝图可获得的目标属性残卷数量的平均值是18+7.5*3=40.5

3、考虑到实际情况中，我们显然会专门挑选不是目标属性的藏宝图进行刷新并优先考虑珍品，这样一来，在经过一番复杂的计算过后，可得此时目标属性残卷数量的平均值约等于0.25*(18+1.75*9+1.25*7.5)+0.75*(18+3*7.5)=41；（但是请注意！我们此时的花费严格上仍不是x，但差距可以忽略!）

这意味着，每消耗40随机碎片与x勾玉，只要我们至少随机出了一个珍品及以上，较该忍忍的方案就至少多出了4.5~5目标属性残卷，更不用提合出一个绝品甚至神品，或者两个珍品的情形。

当然，光是上述计算，仍旧是缺乏说服力的，我们还需要关心的问题是：四个随机品质藏宝图至少出一个珍品及以上的概率有多大？

我们设一张随机品质藏宝图刷出凡品的概率是p，则上述概率是1-p^4(1减去p的四次方)；如果该忍忍的方案在期望的准则下优于我提出的“全合成随机品质藏宝图”的提议，则至少要求成立以下不等式：

5*(1-p^4)-4*p^4≤0

简单求解就是：

P≥86.34%

翻译过来就是：如果用10个随机藏宝图碎片合成凡品的概率不小于86.34%，则该忍忍提出的策略在期望的意义下才可能优于“随机碎片全部合成藏宝图”的策略，且通过第一节的计算得知优势绝对不大。

现在各位忍忍内心应该有杆称了：目前活动已经过于了10天，大多数忍忍应该已经合成了20张随机品质藏宝图，请仔细回想一下，这20张随机品质藏宝图中，珍品及以上品质的藏宝图是否不超过3张？

三、拓展延伸

在完成了上述计算之后，我们是否考虑了所有因素呢？其实不然。

我们要注意一个事实，即凡品、绝品藏宝图在击杀后是可以掉落对应品质藏宝图碎片的！！！

什么意思呢？我们假设花费200随机碎片换了5个成品绝品藏宝图，并花费勾玉改成了目标属性，得到的目标属性碎片是5*36=180；再假设这200随机碎片都合成藏宝图，得到20个凡品藏宝图，击杀过后再由碎片合成2个，实际上是22个，这22个藏宝图中，平均意义下有至少5.5张是目标属性，那么得到的目标属性碎片数量就是5.5*9+16.5*7=165；这即是说，你花勾玉改变属性得到的收益无非是15片目标属性残卷，这比我们第一节给出的22.4~33.6片还要少。