Anthony-XYZ

EH的数独杂谈#3 区块链的玄机

2022/08/26667 浏览攻略

友情提示：

笔者假设你已经充分理解了本系列前面文章的内容，或者通过其他渠道仔细了解过标准链的各种概念。此外，你最好已经充分掌握了所有更加基础的内容，比如区块摒除法，xyz-wing等。

文章中存在大量冗长的论证与定义。如果你在下面的文字中发现了某些没有逗号的长难句，请把阅读速度放慢，必要时请在评论区直接吐槽笔者。

想要直接了解文章结论的读者，可以跳转到最后的部分。

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一、以区块为节点的思想

二、从直推看区块的重要性

三、区块节点的扩张与收缩

四、空矩形的深入探讨

五、从区块链看XYZ-Wing

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标准链是链的最基本形式。但在实际解题过程中，我们找到的可能会是一些不那么标准的链：

链的文字表述是

r2c7(8=5)-r8c7(5=7)-r8c4(7)=r9c4(7-9)=r1c4(9)-r1c78(9)=r3c8(9)

你会注意到，链中出现了一个特殊的东西：r1c78(9)。这个节点不像其他的节点一样只有单独一个候选数，而是包含了一个区域的若干个候选数。该如何理解这一现象呢？

一、以区块为节点的思想

你上一次遇到区块这个词可能是学习区块摒除的时候。相信你们应该比较了解“区块摒除”的推理方法了，不过我们现在尝试从另外的角度理解“区块摒除”这四个字。

以下是区块摒除的两种典型情况。对于图1，考察b1的候选数1，虽然不能确定它会出现在r2c1还是r2c2，但r2的候选数1必定出现在这两格，所以r2c4和r2c6都不能是1。

对于图2，考察r3的候选数6，虽然不能确定它会出现在r3c8还是r3c9，但一定保证b3的候选数6只能出现在这两格，所以r1c9和r2c8都不能是6。

图1的r2c12和图2的r3c89，我们都可以称之为“区块”。笔者对区块的定义是，区块是用来表示同区的一种候选数所占据的若干单元格的组合。正因如此，该种候选数在这个区块内最多会出现一次。比如图1的r2c1246都是候选数1可以放置的位置，因此任意选择其中的两个，三个甚至全部，把它们当成一个整体来对待，都可以称为关于候选数1的“区块”。

特别地，如果我们有办法证明有的区块“必定”包含该种候选数，那么它就拥有了摒除的能力。对于图1的r2c12是关于1的区块。由于b1内只有这两个单元格可以填1，反过来讲，1在这个区块里必然出现。所以和这个区块同在一行的其余格子，即r2c46的候选数1都可以被摒除。可以看到，“区块”是无处不在的，但只有在确定区块里必定包含该种候选数之后，区块才拥有了“摒除”的能力，“区块摒除”才能作为一个有效的技巧被使用。

按照我前面对于区块的定义，总结出区块的若干性质，后一条更加重要：

①它需要有关于唯一一种候选数，并且组成它们的单元格同区。

②区块内的该种候选数要么只出现一次（包含该候选数），要么根本不会出现（不含该候选数），区块只有这两种状态，非此即彼。所以，在一些情况下，区块可以被当做单独的一个数字来使用。

注意到第二条性质了吗？区块只有两种状态，包含某候选数，或者不含某候选数。恰好标准链的节点也只有两种情况：真（是某候选数），或者假（不是某候选数）。所以我们也可以定义区块“包含某候选数”的状态为真，“不含某候选数”的状态为假。这样，区块可以作为一个普通的节点，在链中正常使用。

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如果上述文字存在故弄玄虚，卖弄文字之嫌，那么接下来的介绍会更加实际。

二、从直推看区块的重要性

让我们回到最开始的那个例子：

r2c7(8=5)-r8c7(5=7)-r8c4(7)=r9c4(7-9)=r1c4(9)-r1c78(9)=r3c8(9)

如果把链翻译成直推的语言，大概就是：设r2c7(8)为假，则......，则r1c4=9，则r1c7和r1c8都不是9，则r3c8=9。

在推理的过程中，我们发现r1c7和r1c8都不是9。如果把r1c7和r1c8当做一个关于9的区块，那么这个区块就不包含候选数9，也就是区块为假。单纯从链的角度来看，从链头开始按照假真假真......交替，正好到了r1c78(9)的节点是假的。因此，刚才对于区块真假的定义是合乎逻辑的。

但区块的最重要意义还不止于此。如果这条链的链尾是以下两种中的任何一个：

...=r1c4(9)-r1c7(9)=r3c8(9)

...=r1c4(9)-r1c8(9)=r3c8(9)

你会发现无论哪个，最后一条强链都是不正确的，原因你懂的。但把r1c7(9)和r1c8(9)组合成一个区块：

...=r1c4(9)-r1c78(9)=r3c8(9)

最后的强链就完全正确了，因为b3的9肯定得有一个，要么落在r3c8，要么就落在r1c78区块，所以它们肯定至少一个为真。

可以说，区块链帮助我们不通过动态链，简单地表达出一般的标准链难以表述的某些逻辑关系。

三、区块节点的扩张与收缩

现在让我们来观赏一条特殊的区块链。（例子来自向神的标准数独技巧教程，但采用了另一数独软件的UI以便绘画）

r8c5(9)=r8c7(9)-r123c7(9)=r1c89(9)

请仔细思考最后的强链是怎么产生的。本例删数是r1c5的9。

这似乎是一个普通的区块链的实例。但我们想讨论的并不只是这些。

考虑下面的情况：

①如果最后一个红圈的区块r1c89发生了扩张（多出一块），原来的结论还成立吗？

r8c5(9)=r8c7(9)-r123c7(9)=r1c789(9)

注意到两个区块节点在r1c7发生了重叠。但实际上，这并不影响结论。试想一下：按照上一条链的逻辑，推到最后，r1c89区块为真（即必含有一个9）。那么由于r1c789区块完全包含了r1c89区块，它也为真。实际上，任何完全包含了r1c89的关于9的区块都为真。

②如果在刚才的基础上，最后一个蓝圈的区块r123c7发生了收缩（少了一块），原来的结论还成立吗？

r8c5(9)=r8c7(9)-r23c7(9)=r1c789(9)

按照刚才的逻辑，既然r123c7区块为假（即不包含9），那么从里面提取出的小区块r23c7肯定也不含9。实际上，任何从r123c7区块中提取的子区块都是假的。

综上可以得出关于链节点扩张与收缩的结论：真区块扩张后仍为真，假区块收缩后仍为假。当然，对于只涉及单个候选数的真节点，也可以扩张为区块节点；假区块节点也可以收缩为一个普通节点。

但是这个例子真就这么简单吗？实际上，它是一个有专门名字的特殊技巧：空矩形（Empty Rectangle）。但是矩形在哪儿呢？空又是什么意思呢？

四、空矩形的深入探讨

还是回到这个例子，这次我们使用另一种视角来探讨空矩形的意义。

如果r1c5=9，那么经过图上的一条弱链和一条强链，推出r8c7=9。这时会发现，r1c5的9和r8c7的9对于b3宫做摒除，导致整个宫没有任何一处可以填9。通过正确的推理过程得到了荒谬的结论，那就是前提错误。因此得到r1c5≠9。

有时候，我们会发现一宫内能填数字的地方，被排列成了L形或者T形。这种情况似乎“更容易”发生上述无数可填的状况，只要两个数字就可以废掉一整个宫的填数。在这两个数字中，如果很不巧地，一个数字的成立可以直接推出另一个数字也成立，那么宫内就没有可以填这个数字的空间了。这就是空矩形的精髓，利用宫内可填数位置的特殊构型，来排除无数可填的情况。

刚才我们演示了让一个L型宫无数可填的操作。我们注意到两个关键位置上的数字（姑且叫做A和B），它们关乎这个宫的命脉，只要A和B同时成立，这宫就无数可填了。为了从A推出B（或者反过来），至少需要一条弱链和一条强链，其中强链是最大的要点。

据此可以复盘出空矩形的一种不错的观察角度：

①任意选择一个剩余空间为L型或者T型的宫，画出一横一竖两条边以及它们的交叉点。这个剩余空间是相对于候选数能填的位置而言，而不一定是单元格的形状。