EH的数独杂谈#10 超实用技巧整理

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一、最基本的技巧

1. 摒除与唯余

2. 数组

3. 区块

二、致命与致死结构类技巧

1. 唯一矩形（UR）

2. 全双值格致死（BUG）

三、各种Wing

1. X-Wing（二链列）

2. XY-Wing（双分支匹配）

3. XYZ-Wing（三分支匹配）

4. W-Wing

四、链的常用构型

1. 双强链

2. 远程数对

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在综合篇中，笔者将为大家展开新的视角，通过对构造、毛刺、秩理论等思想方法的讲解，帮助大家更灵活地运用现有的技巧解决高难度的数独题目。

作为综合篇的第一章，有必要先将常用的技巧进行总结，以免后续内容给读者造成理解上的困难。

1. 摒除与唯余

摒除与唯余这两种方法，只要各位接触过数独并了解它的规则，不学也是学了。

摒除分为两大类：宫摒除和行列摒除。

宫摒除实例见图10-1-1。根据数独规则，数字3在第5宫里只有一种填法。

行/列摒除实例见图10-1-2。在第4列上，数字7的填法只有一种。

虽然宫摒除和行列摒除都是基于数字的位置进行填数操作，但宫摒除观察起来更方便。

相对于摒除“用同一种数字解题”的思想，唯余则是使用“一个单元格”，观察其能看到的数字从而得解。

别看我说得这么绕，其实唯余最简单的形式你总能见到，比如图10-1-3的第一行：

这种一行/列/宫里只有一种数字未填的情况，就算是唯余最简单的形式了，有时被称作“满汉全席”（Full House）。

当然唯余的一般形式见10-1-4，提示数遍及行、列、宫。试着理解一下高亮的蓝色单元格应该填多少吧！

2. 数组

数组描述了一种“n个数字填入同一行/列/宫的n个单元格”的情形，虽然不能直接确定具体的填数方式，但对外仍然有排除的功能。

数组也分两种：显性数组和隐性数组。

显性数组的实例如图10-1-5所示。注意到r5c12（绿色框部分）必然一个填4，另一个填5。现在考察蓝色格，其所在的列还有347三种数字未填入。这个蓝色格能被左边的给定数7和45数组看到，所以不能是4和7，必须填3。

隐性数组的实例如图10-1-6所示。2宫还有256789六种数字未填。由于橙色格子的作用，2宫里的紫色格子都不能填568三种数字的任何一种。也就是说，568三种数字在2宫被“挤进了”红框的三格内。所以红框三格只能填568，进而紫色格子只能填279。此后，根据第三行的给定数79，唯余得到r3c4=2；根据第6列的给定数8，摒除得到r3c5=8。

细心的朋友们会发现，r3c4=2其实只需要一步唯余就能得到，r3c5=8也只需要一步摒除就能得到。但笔者是想借助这个例子说明显性数组与隐性数组的不同之处：前者利用明确的数组进行对外排除，后者则是通过分析区域内多种数字的占位进行对内分组。

3. 区块

如果说数组是通过多种数字占位来排除，那么区块则是用一种数字占位来排除。

例如图10-1-7，我们分析4列里填入数字5的情况，会发现r39c4两格可以直接被5看到，不能填5。同时，1宫5向下也能对4宫作摒除，导致4宫的5只能填入r5c12两格内，因其位于同一行，而构成一个有效的区块。这样，r5c4也不能填5，从而r4c4=5。

像数组一样，区块里的数字也暂时不知道要填在哪儿，但无论如何都可以对外排除一些填数情况，甚至直接得到填数。

1. 唯一矩形（UR）

唯一矩形是最简单、最好观察的一类的致命结构。正因为其形式太过简单，在原则上只需要用到数组/区块的题目里，你依然可以巧用UR来逃课！

关于UR的知识点，本人在下面的链接里进行过整理。没有阅读过的小伙伴建议仔细阅读；对于已经掌握的小伙伴，为了避免实践中出错，请再次复习UR成立的条件，尤其是第二条：

2. 全双值格致死（BUG）

致死结构其实是致命结构的延展。在致命结构的篇章，我们说到“局部多解，就等同于全盘无解”。特别地，当这个局部恰好就等同于全盘的时候，就无所谓“局部多解”，只剩下“全盘无解”，也就是致死。

为了讲清楚“致死”的逻辑，请看图10-2-1：

做一个小小的实验：我们把r7c3的9去掉，你会发现，每个单元格有且仅有2种候选数；在任何一个行、列、宫内，每种候选数有且仅有2次出现。此时，无论你试图按何种方法试数，都会在某一处发现矛盾。

现在给出全双值格致死（BUG）的确切定义：

我们回到图10-2-1，你会发现去掉r7c3的9之后，剩余的部分恰好满足上面的两个条件。像r7c3(9)这样一旦全部去除就会造成BUG的候选数，我们称之为真数。显然为了避免BUG的出现，所有真数至少有一个成立。

在图10-2-1中，真数只有一个，就是r7c3(9)，于是直接得到r7c3=9。在差点形成BUG的结构中，只有一个真数的情况就称为BUG+1。类似地，有n个真数的情况是BUG+n。

现在来看一个BUG+2的例子，如图10-2-2所示。

注意到去除两个绿圈数字后，盘面变成了BUG形式，因此原盘面称为BUG+2。由于真数至少有一个成立，因此两个绿圈数字成强关系。对一端进行延拓，得到链

r1c4(4)=r7c6(2)-r2c6(2=4)

产生删数r1c5<>4。

当然，这题可以更简单地用UR来解，本例只是为了说明BUG+n的使用方法。此外，本例包含了构造的思想，将会在第11章进行介绍。

1. X-Wing（二链列）

X-Wing在本系列的8-1已有讲解。传送门：

2. XY-Wing（双分支匹配）

XY-Wing在难度为3-4星的题目中用途广泛。它的一般形式如图10-3-1所示。通过链的关系，很容易得到

r5c2(6=1)-r5c4(1=4)-r4c5(4=6)

从而产生删数r5c5<>6。

作为一种特殊的链，XY-Wing有自己的一种观察方法：

3. XYZ-Wing（三分支匹配）

XYZ-Wing与XY-Wing相比，只是“中间”的单元格多了一个z值。它的一般形式如图10-3-2所示。

为了理清XYZ-Wing的逻辑，分两种情况讨论：

（1）r5c5<>4，此时r5c5，r4c5和r5c9构成XY-Wing，知r4c5(4)和r5c9(4)至少有一个成立。

（2）r5c5=4。

总之画橙色圆圈的三个4至少一者成立，它们可以共同删除r5c4(4)。

值得注意的是，刚才XYZ-Wing的分析包含了毛刺的思想，将会在第12章进行介绍。

4. W-Wing

W-Wing的逻辑与刚才提到的XY-Wing有一些差异，但本质上还是一种特殊的异数链。W-Wing的一般形式见图10-3-3。

根据图示，有链r9c6(8=5)-r7c46(5)=r7c2(5)-r8c2(5=8)，产生关于8的删数。

1. 双强链

在所有链中，以“强弱强”连接的同数链是最基本的形式。因为只包含两条强链，又称为“双强链”。

它的一般形式见图10-4-1，其逻辑和删数在图上一目了然。

除了一般形式外，有时两个强链都是水平/竖直的。当它们平行时即构成摩天楼(Skyscraper)，正交（垂直）时构成双线风筝(2-String Kite)。摩天楼和双线风筝是双强链的两种特殊形式，如图10-4-2和10-4-3所示。

2. 远程数对

远程数对(Remote Pair)是一种特殊的链，本质是两种候选数的链关系在相同单元格内重叠而形成的特殊情况。

远程数对的一般构型如图10-4-4所示。它的形式是一组只含xy两种候选数的单元格，任取任何一种候选数都可以构成一条单独的链。当然，也可以用袋鼠（数独的包装技巧之一）来理解。总之，远程数对的两端必然填入不同的数字。

在下例中，包含45候选数的单元格就构成这样的远程数对，两端必然一个填4一个填5，总之有删数r4c2<>45。

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