双up毒池抽卡指北：以五一周年池为例
精华修改于2020/04/277152 浏览攻略
关于双up毒池的出货期望问题，半天看到了三四套结果，真实离谱。还不如我自己来算算。
太长不看版：
如果不挑，抽中任意一个up的平均次数是50次，吃井率不足0.1%，24抽的白嫖率为28.68%。
如果要挑W/Wendy，抽中特定一个up的平均次数是96次，吃井率是3.61%，24抽的白嫖率为15.50%。
如果全都要，抽中两个up的平均次数是132次，吃井率是7.10%，24抽的白嫖率为6.66%。
（抽卡次数全部向上取整。）
健康游戏，理智氪金。
充钱可能会亏，不氪立赚200%。
目录
1-理论概率：多少抽能中一个up
2-数值模拟：多少抽能中一个up
3-我只想要W/Wendy要多少抽
4-我W和Wendy全都要！
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1-理论概率：多少抽能中一个up
首先，从最简单的情况讨论起：如果我不在乎抽中W还是Wendy，来个姓VV的就彳亍，那我的抽卡次数期望是多少。
要讨论这个问题，第一，得明白几个基本原理公式：
事件相互独立：P(AB)=P(A)*P(B)；
条件概率：P(A丨B)=P(AB)/P(B)；
子事件：P(A)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
对于双up毒池，“出货”其实就可以分成“抽中六星”和“抽中的六星是当期up”两个相互独立的事件，只有两个事件同时满足才会“出货”，因此可以分开算两个事件的概率然后相乘作为“出货”概率。这一逻辑对于计算两个up全都要的情况尤为重要。
第二，依次计算“第n次抽卡能抽中六星”（n=1,2,…,99）[1]的概率，注意“第n次抽卡”意味着前n-1次抽卡都没有出六星。计算出的概率密度分布如下图所示[2]，进而算得众所周知的出六星抽卡期望34抽（34.59）。
第三，在70%up率机制下“抽中的六星是当期up”满足70%概率的二项分布。又在300抽的井机制下，我们可以预期一个最非的人出大概8次六星没中up就能吃井（300/34.59=8.67），所以我们只考虑一个人分别在第1-8次出六星的时候中up就能回答“多少抽能中一个up”的问题[3]。
在上述设定下，恰好在第m次出六星的时候中up的概率是P(m)=(1-0.7)^(m-1)*0.7（m<8）。有井机制下恰好在第8次出六星的时候中up的概率是P(m=8)=(1-0.7)^8*100%。
跟34.59的六星抽卡期望联立可得中一个up的抽卡次数期望是
E(任意一up)=49.41[4]
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2-数值模拟：多少抽能中一个up
接下来用随机抽样的思路模拟出一个10w人的样本[5]，每个人中一个up的抽卡次数频数分布如下图所示。
从图中可以看出，50抽左右中一个up的人最多，接近2.5w人，在一定程度上验证了理论推导49.41的结果。
10w样本总体的均值为49.35抽。
采用Bootstrap算法抽样1k次计算的抽卡次数均值也为49.35，90% 的置信区间为【48.75, 49.94】。
然后是大家比较关心的两个问题：
第一，多少人吃井？
10w样本总体中仅有28人吃井（0.028%），若把抽卡次数超过270的人视为“主动吃井”的话（我寻思都抽到这儿了不会不抽剩下30连吧？），吃井人数为也仅为52（0.052%）。
采用Bootstrap算法的吃井率为0.0276%，90% 置信区间为【0.001%, 0.054%】，主动吃井率为0.0529%，90% 置信区间为【0.017%, 0.089%】。吃井率波动相对比较大，但可以肯定的是基本不会超过0.1%。
第二，周年活动能直接白嫖24抽，那多少人能24次白嫖中一个up？
10w样本总体中白嫖到一个up的人数为28699人（28.699%），超过四分之一的人能白嫖一个up，这倒是超乎我的预期。
采用Bootstrap算法的白嫖率为28.683%，90% 的置信区间为【27.978%, 29.389%】。
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3-我只想要W/Wendy要多少抽
接下来讨论另一种情况：如果我只想要W/Wendy，不想要另一个up，更不想歪其他的六星，那我的抽卡次数期望是多少。
直观来看，跟第一种情况相比，想要特定up的出货率会骤减。同样抽出六星之后，不挑的时候抽中当期up的概率是70%，而想要特定up的时候概率就折半为35%（假设两个up概率平分）。
这里就不再推导理论概率只做数值模拟了，第一种情况的结果也已经证明模拟和理论相当接近了。
仍然模拟出一个10w人的样本，每个人抽中特定up（无论是W还是Wendy）的抽卡次数频数分布如下图所示。
是不是感觉一两百抽才出货地人数肉眼可见的增多了？单吊特定up比不挑剔的出货难度大得多。
10w样本总体的均值为95.48抽。
采用Bootstrap算法计算的抽卡次数均值为95.44抽，90% 的置信区间为【94.24, 96.64】。将近一百抽才能抽中特定up。
仍然是那两个问题：
第一，只抽特定up会有多少人吃井？
10w样本总体中有3611人吃井（3.611%），考虑抽卡次数超过270的“主动吃井”的情况，吃井人数为为5129（5.129%）。
采用Bootstrap算法的吃井率为3.624%，90% 置信区间为【3.324%, 3.923%】，主动吃井率为5.141%，90% 置信区间为【4.785%, 5.497%】。出货难度加大，吃井率增加，波动就小了，可以确定的是这种情况下吃井率在3%到4%之间，主动吃井率在5%左右。
第二，多少人能24次白嫖中一个特定up？
10w样本总体中白嫖到一个up的人数为15504人（15.504%），白嫖比例骤减，但仍然有一至两成。
采用Bootstrap算法的白嫖率也为15.504%，90% 的置信区间为【14.920%, 16.088%】。
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4-我W和Wendy全都要！
最后讨论最复杂的情况：如果我是W和Wendy全都要的成年人，我的抽卡次数期望是多少。
直观来看，跟前两章情况相比，全都要的出货率又会进一步降低，并且至少要抽出两次六星。
在第一次出六星的时候，全要党不挑，只要是up就行；在拿到一个up之后，则变成只要特定的另一个up。
同样，这里也不推导理论概率而只做数值模拟。
依然模拟出一个10w人的样本[6]，每个人抽中两个up的抽卡次数频数分布如下图所示。
一两百抽才出货的人数又一次肉眼可见地增多了。做全都要的成年人，成本有点大。
10w样本总体的均值为131.53抽。
采用Bootstrap算法计算的抽卡次数均值为131.50抽，90% 的置信区间为【130.186, 132.823】。
依然是那两个问题：
第一，会有多少人吃井？
10w样本总体中有7092人吃井（7.092%），考虑抽卡次数超过270的“主动吃井”的情况，吃井人数为为9855（9.855%）。
采用Bootstrap算法的吃井率为7.100%，90% 置信区间为【6.688%,7.513%】，主动吃井率为9.855%，90% 置信区间为【9.377%, 10.333%】。出货难度继续加大，跟单吊一个特定up相比，吃井率接近翻倍。
第二，多少人能24次白嫖中两个特定up？
10w样本总体中白嫖到一个up的人数为6674人（6.674%），白嫖比例也是进一步削减。
采用Bootstrap算法的白嫖率也为6.657%，90% 的置信区间为【6.249%, 7.065%】。
注：
[1] 需要稍微注意一下的是，在当前的保底机制下其实出六星的理论抽卡上限是99次（50+49）而非盛传的100次。
[2] 为了好看把图画成了连续的折线图，实际上由于抽卡次数只能是整数，概率密度函数应该是非连续的。
[3] 这里做了一个简单粗暴的近似，有很大问题。考虑两种极端情况，一是每次十连都能中六星的天选之人，他吃井需要出的30个六星都不是up，二是一直70抽才能出六星的非洲人，他只用出4个六星就能吃井。两种情况跟假设的8次六星都有很大出入，类似的情况导致这里的估计是有偏的。但要完全考虑这些情况计算无偏估计非常麻烦，我没想到好如何用相对简单的算法来实现，所以只做如此近似计算。
[4] 要注意的是，这个次数期望看起来不多，但这个次数的分布是右偏的，也就是说部分欧洲人用较少次数（一两次十连）出了货把整体期望给拉低了，实际上还有很多一两百抽才出货的人被欧洲人给“平均”了。
[5] 这里我又做了一次近似，从第一张图可以看出抽75+次才出六星的概率近乎于0，不太好模拟，于是我将第75-99次出六星的概率进行加总，均作为第75次出六星看待（实际上，75+次出六星的期望是75.87次，影响不大）。此外，数值模拟可以完美解决理论概率有偏的问题，添加一个if语句判断是否吃井即可。
[6] 对于全都要的情况，仍然假设一个人最多抽300次就能抽齐。也就是说，在前300次中，至少能抽中两个up中的一个，另一个up在最非的时候直接靠井兑换。根据第一种情况的结果，300抽一个up都没有的概率仅为0.0276%，可以忽略不计（讲真，真要这么黑，建议还是弃坑）。